Известный советский и российский художник родился в селе Нижний Ингаш Красноярского края, в семье почтового служащего 27 сентября 1926 г. Выпускник Красноярской художественной школы имени В. И. Сурикова.
В 1937 году Поздеев принимал участие в краевом конкурсе детского рисунка, посвящённом столетию памяти Пушкина, и за портрет поэта получил денежную премию.
Живопись начал постигать самостоятельно: посещал выставки, музеи и галереи, изучал творчество великих мастеров прошлого, читал книги, писал с натуры.
В начале Великой Отечественной войны Поздеев работал на Красноярском заводе комбайнов — вытачивал боеприпасы. Однажды уехал к бабушке в Тюхтет — за побег с завода получил полгода колонии. В заключении постоянно рисовал, оформляя стенгазеты.
В 1943 году ушел добровольцем на фронт, служил на Дальневосточном флоте. Демобилизовался из-за того, что серьезно заболел туберкулезом. Вернулся и стал жить в Минусинске.
В 1950 году вернулся в Красноярск. Работал в товариществе художников, учился в художественной школе им. Сурикова, которую окончил с отличием, и одновременно в школе рабочей молодежи, чтобы получить среднее образование.
С 1956 года — художник-копиист в Художественном фонде. После выставки в Иркутске становится кандидатом в члены Красноярской организации Союза художников РСФСР.
В 1961 году Андрея Поздеева приняли в Союз художников СССР. Три года спустя открылась первая персональная выставка живописца. Её очень тепло приняли как публика, так и искусствоведы. С этого момента к Поздееву начала приходить небольшая популярность.
С 1964 по 1997 год состоялось 11 персональных выставок художника: Красноярск, Новосибирск, Норильск, Таллинн, Москва, Санкт-Петербург, Зеленогорск.
С 1965 по 1970 годы участвует в групповых выставках: на Кубе и в Праге, Мексике и Монголии.
В марте 1980 года Поздеев получил собственную мастерскую в Красноярске. В 80-х приобрел наибольшую известность. В 1990 году его работы участвовали в международной выставке современного искусства в Лондоне, выставлялись в Москве на Крымском валу, а в печати впервые появлялись искусствоведческие статьи о творчестве Поздеева.
С годами его картины приобрели высокую степень обобщения и философскую насыщенность — он рисует известную «Чашу», «Голгофу», «Раковины» и «Корабли».
Однако власти не понимали его авангардной живописи, считая их формалистскими и пропускали его работы лишь на зональные выставки.
12 июля в 1998 году, не дожив нескольких месяцев до 72 лет, Андрей Поздеев скончался в своей мастерской. Похоронен он на кладбище Бадалык в Красноярске.
Картины Поздеева находятся во многих музеях мира, в том числе в Третьяковской галерее и в Русском музее, в художественном музее им. В. И. Сурикова в Красноярске.
В 2000 году на проспекте Мира города Красноярска был установлен бронзовый памятник Поздееву, и в одной из школ города открылся музей художника Андрея Поздеева.